Вычислить предел x³·e^(–2x) при x стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем $\infty\cdot 0$ в $\infty/\infty$. Как записано, предел представляет собой произведение $x^3\to\infty$ и $e^{-2x}\to 0$, что не даёт стандартной неопределённости для применения правил. Переносим экспоненту в знаменатель:

   $x^{3}e^{-2x}=\frac{x^{3}}{e^{2x}}$

   Теперь обе части стремятся к $\infty$, что позволяет применить правило Лопиталя.

2. 2

   Дифференцируем числитель и знаменатель один раз.

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}$

   Каждая итерация уменьшает степень числителя на единицу, а знаменатель лишь умножается на постоянный множитель $2$ — экспонента остаётся экспонентой.

3. 3

   Дифференцируем ещё два раза.

   $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}$

   На каждом шаге сохраняется неопределённость $\infty/\infty$, пока числитель не станет константой — тогда можно остановиться.

4. 4

   Вычисляем итоговое выражение. Числитель теперь равен $6$, а $e^{2x}\to\infty$, поэтому

   $\frac{6}{8e^{2x}}\to 0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to\infty}x^{3}e^{-2x}=0$

5. 5

   Замечаем общий принцип. Для любых $n>0$ и $a>0$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-ax}=0$: экспонента «побеждает» любой многочлен. Это позволяет сразу записать ответ без трёх применений Лопиталя. Например, $x^3e^{-2x}$ уже при $x=20$ даёт $3{,}4\times 10^{-14}$, а при $x=50$ — $4{,}7\times 10^{-39}$ ✓.