Вычислить предел (√(x+5) − 3)/(x − 4) при x стремящемся к 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что действительно получается неопределённость 0/0. При $x=4$ имеем $\sqrt{9}-3=0$ и $4-4=0$. Здесь радикал действительно равен константе, поэтому приём с домножением на сопряжённое сработает — в отличие от случаев, когда числитель стремится к ненулевому значению.

2. 2

   Домножим на сопряжённое выражение. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x+5}+3$, которое не обращается в ноль в окрестности $x=4$.

3. 3

   Упростим числитель. Получаем $\left(\sqrt{x+5}\right)^2-3^2=(x+5)-9=x-4$, поэтому дробь принимает вид $\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$.

4. 4

   Сократим и упростим выражение. Для $x\neq 4$ имеем $\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$ — функция, которая непрерывна при $x=4$.

5. 5

   Подставим значение. Получаем $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$.

6. 6

   Проверим численно. Подставляя в исходное выражение $x=4+10^{-8}$, получаем $0.1666667$, что совпадает с $\frac{1}{6}$.