Ученик записал интеграл от x в седьмой степени dx как x в восьмой степени делённое на 3 плюс 7. Найдите первообразную правильно и объясните ошибку.

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем правило интегрирования степени точно. Для любого показателя $n\neq -1$

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   Происходят две разные вещи: показатель увеличивается на единицу, и слагаемое делится именно на этот новый показатель $n+1$ — не на старый и не на что-либо ещё.

2. 2

   Применяем его при $n=7$. Новый показатель равен $7+1=8$, поэтому

   $\int x^7\,dx=\frac{x^8}{8}+C$

3. 3

   Находим в предложенном ответе две отдельные ошибки. В записи $\frac{x^8}{3}+7$ показатель $8$ верен, но (i) в знаменателе должно стоять $8$, а тройка взялась из ниоткуда; и (ii) константа записана конкретным числом $7$, тогда как первообразная обязана нести произвольную постоянную $C$ — при любом значении $C$ получается верная первообразная.

4. 4

   Дифференцируем предложенный ответ и убеждаемся в ошибке. Дифференцирование — встроенная проверка для любого интеграла:

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{3}+7\right)=\frac{8x^7}{3}$

   Это в $\frac83$ раза больше нужного, значит первообразной для $x^7$ такая функция быть не может.

5. 5

   Дифференцируем правильный ответ.

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{8}+C\right)=\frac{8x^7}{8}=x^7$

   Восьмёрка в знаменателе ровно гасит ту восьмёрку, которую выдаёт правило дифференцирования степени, — вот почему делить надо на новый показатель. Ответ: $\frac{x^8}{8}+C$.