Решите дифференциальное уравнение y'' + 2y' + y = e^(3x).

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем задачу на две части. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами общее решение имеет вид $y=y_h+y_p$: общее решение однородного уравнения плюс какое-нибудь одно частное решение полного. Каждая половина находится своим приёмом.

2. 2

   Решаем однородное уравнение. Положим $y''+2y'+y=0$ и подставим $y=e^{rx}$:

   $r^2+2r+1=(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\ \text{(дважды)}$

   Кратный корень даёт лишь одну экспоненту, поэтому второе линейно независимое решение — та же экспонента, умноженная на $x$:

   $y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$

3. 3

   Подбираем правильный вид частного решения. Справа стоит $e^{3x}$. Так как $3$ не является корнем $r^2+2r+1$, резонанса нет и достаточно обычной подстановки $y_p=Ae^{3x}$. (Будь справа $e^{-x}$, совпадающее с кратным корнем, потребовался бы множитель $x^2$.)

4. 4

   Подставляем и находим $A$. При $y_p'=3Ae^{3x}$ и $y_p''=9Ae^{3x}$

   $(9A+6A+A)e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 16A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}$

   Число $16$ здесь не случайно: это значение характеристического многочлена в точке показателя, $p(3)=3^2+2(3)+1=16$.

5. 5

   Собираем общее решение.

   $y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$

6. 6

   Проверяем обе части. Для $y_p=\frac{1}{16}e^{3x}$: $\frac{9}{16}+\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1$, то есть в правой части действительно получается $e^{3x}$ ✓. Для $y_h=xe^{-x}$: $y_h'=(1-x)e^{-x}$, $y_h''=(x-2)e^{-x}$, и $(x-2)+2(1-x)+x=0$ — однородное уравнение выполнено ✓.