Вычислить интеграл f(x) = x от 0 до 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какое правило применимо. Подынтегральная функция $x$ — это степень $x^{1}$, поэтому используется правило степеней: $\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ при $n=1$. Подстановка или интегрирование по частям здесь не требуются.

2. 2

   Запишем первообразную.

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$

   В случае определённого интеграла постоянная $C$ опускается: она появляется при обоих пределах и сокращается при вычитании.

3. 3

   Применим основную теорему анализа. Подставим верхний и нижний пределы в первообразную и вычтем значения:

   $\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{16}{2}-0=8$

4. 4

   Проверим результат геометрически. На отрезке $[0,4]$ график $y=x$ — это прямая, а область под ней представляет собой прямоугольный треугольник с основанием $4$ и высотой $4$:

   $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$

   Геометрическая площадь полностью совпадает с вычислением по первообразной, что является лучшим подтверждением для линейной функции.

5. 5

   Запишем ответ.

   $\int_{0}^{4}x\,dx=8$