Вычислить определённый интеграл от √(x−x⁴) по x на отрезке от 0 до 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем множители под корнем. Представим $x-x^{4}=x\left(1-x^{3}\right)$ — теперь подынтегральное выражение разбито на две независимые степени:

   $I=\int_{0}^{1}x^{1/2}\left(1-x^{3}\right)^{1/2}dx.$

   На отрезке $[0,1]$ оба множителя неотрицательны, поэтому корень определён всюду, и интеграл является собственным. Вид $x^{p}(1-x^{q})^{r}$ характерен для интегралов, выражающихся через функцию Бета.

2. 2

   Выполним замену $u=x^{3}$ для приведения к Бета-форме. Тогда $x=u^{1/3}$, $du=3x^{2}dx$, значит $dx=\tfrac13u^{-2/3}du$, а $x^{1/2}=u^{1/6}$. Пределы интегрирования не меняются: $0\to0$, $1\to1$:

   $I=\int_{0}^{1}u^{1/6}(1-u)^{1/2}\cdot\tfrac13u^{-2/3}\,du.$

3. 3

   Объединим степени $u$. Складываем показатели:

   $\frac16-\frac23=\frac16-\frac46=-\frac12,$

   получаем

   $I=\frac13\int_{0}^{1}u^{-1/2}(1-u)^{1/2}\,du.$

   Это в точности интеграл Бета $B(a,b)=\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}du$ при $a-1=-\tfrac12$, $b-1=\tfrac12$, то есть $a=\tfrac12$, $b=\tfrac32$.

4. 4

   Вычислим через Гамма-функции. Используем $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ и значения $\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}$, $\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$, $\Gamma(2)=1$:

   $I=\frac13\cdot\frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{1}=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$

5. 5

   Проверим численно. Составная формула Симпсона на $[0,1]$ с двумя миллионами разбиений даёт $0.52359878$, что совпадает с $\frac{\pi}{6}=0.52359878$ ✓. Совпадение слегка ограничено особенностями производной на концах (корневая особенность), из-за чего аналитический путь через функцию Бета здесь предпочтительнее численного интегрирования.