Решить дифференциальное уравнение dy/dx - y² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём к стандартному виду с разделяющимися переменными. Переносим $y^2$ вправо:

   $\frac{dy}{dx}=y^2$

   Правая часть зависит только от $y$, значит, уравнение разделяется. Также заметим, что $y=0$ — частное решение, которое тривиально обращает уравнение в верное равенство и его нужно рассматривать отдельно.

2. 2

   Разделим переменные. Предполагая $y\neq0$, поделим обе части на $y^2$:

   $\frac{dy}{y^2}=dx,\qquad\text{т.е.}\qquad y^{-2}\,dy=dx$

3. 3

   Проинтегрируем обе части по формуле степенного интеграла. Для $n=-2$ имеем $\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}$, отсюда $\frac{y^{-1}}{-1}=-y^{-1}$ — случай с $\ln$ здесь не подходит, так как показатель не $-1$:

   $-\frac{1}{y}=x+C$

4. 4

   Выразим $y$. Домножим обе части на $-1$ и переобозначим константу ($-C$ — такая же произвольная константа, как и $C$):

   $\frac{1}{y}=-x-C=C'-x$

   Берём обратную величину:

   $y=\frac{1}{C-x}$

   где снова обозначим $C$ вместо $C'$. В отличие от линейного случая $y'=y$, здесь $C=0$ не даёт $y=0$; нулевое решение — действительно отдельное особое решение, потерянное на шаге 2.

5. 5

   Отметим разрыв за конечное время. У решения есть вертикальная асимптота при $x=C$: при $x\to C^-$ значение $|y|\to\infty$. Поэтому ни одно ненулевое решение не определено на всей числовой прямой — это характерно для квадратичного роста и не встречается в линейных уравнениях.

6. 6

   Проверим подстановкой. Для $y=\frac{1}{C-x}=(C-x)^{-1}$ по правилу цепочки получаем $y'=(C-x)^{-2}=y^2$ ✓. Численно при $C=2$ и $x=0,\,0.5,\,-1.3$ разностное отношение совпадает с $y^2$ до пяти знаков ✓.