Найдите предел (2x − 3)/(x² + 3x) при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним степени ещё до вычислений. Числитель имеет степень $1$, знаменатель — степень $2$. Для рациональной функции работает правило: если степень числителя меньше, предел на бесконечности равен $0$; при равных степенях он равен отношению старших коэффициентов; если степень числителя больше — предел равен $\pm\infty$. Наша задача относится к первому случаю, и дальнейшие выкладки лишь показывают это явно.

2. 2

   Разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $x^{2}$.

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   Именно деление на $x^2$ (а не на $x$) гарантирует, что знаменатель выйдет на ненулевую константу.

3. 3

   Устремим каждую обратную степень к нулю. При $x\to\infty$

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

4. 4

   Соберём предел.

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   То, что знаменатель стремится к $1$, а не к $0$, и делает это честным вычислением, а не очередной неопределённостью.

5. 5

   Истолкуем результат геометрически. Полученный предел означает, что кривая $y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Численно значения равны $0.00199$ при $x=1000$ и $0.0000020$ при $x=10^{6}$ — убывание как $2/x$ ✓.