Вычислить двойной интеграл x/(x² + y²) по области D, ограниченной параболой 2y = x² и прямой y = x.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки пересечения двух кривых. Из $2y=x^2$ получаем $y=\tfrac{x^2}{2}$. Приравнивая $\tfrac{x^2}{2}=x$, находим $x^2-2x=0$, откуда $x=0$ или $x=2$; точки пересечения — $(0,0)$ и $(2,2)$.

2. 2

   Определяем, какая кривая выше. При $x=1$ прямая даёт $y=1$, а парабола $y=\tfrac12$, значит, верхней границей будет прямая. Значит, область интегрирования: $0\le x\le 2,\qquad\frac{x^2}{2}\le y\le x.$

3. 3

   Сначала интегрируем по $y$. Считая $x$ постоянным, имеем $\int\frac{x\,dy}{x^2+y^2}=\arctan\frac{y}{x}.$ Выбор $y$ в качестве внутренней переменной позволяет эффективно использовать $x$ в числителе.

4. 4

   Подставляем пределы интегрирования. При $y=x$ аргумент равен $1$; при $y=\tfrac{x^2}{2}$ — $\tfrac{x}{2}$. Получаем $I=\int_0^2\left(\arctan 1-\arctan\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^2\arctan\frac{x}{2}\,dx.$

5. 5

   Вычисляем оставшийся интеграл по частям. При замене $u=\tfrac{x}{2}$ получаем $2\int_0^1\arctan u\,du$, а $\int\arctan u\,du=u\arctan u-\tfrac12\ln(1+u^2)$, что даёт $2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\ln 2.$

6. 6

   Объединяем результаты. $I=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\ln 2\right)=\ln 2\approx 0.693147,$ что совпадает с прямым численным вычислением $\int_0^2\left(\tfrac{\pi}{4}-\arctan\tfrac{x}{2}\right)dx$.