Вычислите тройной интеграл от z² по области, ограниченной сферой z = √(1 − x² − y²) и конусом z = √(x² + y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Опознаём тело. Возведя уравнение сферы в квадрат, получаем $x^2+y^2+z^2=1$ при $z\ge 0$ — верхнюю единичную полусферу. Конус в цилиндрических координатах записывается как $z=r$. Область — «мороженое в рожке»: то, что внутри полусферы и над конусом.

2. 2

   Находим линию пересечения поверхностей. Из $r=\sqrt{1-r^2}$ получаем $2r^2=1$, откуда $r=\tfrac{1}{\sqrt2}$ и $z=\tfrac{1}{\sqrt2}$. Это и задаёт диапазон радиуса.

3. 3

   Записываем интеграл в цилиндрических координатах. При $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ имеем $\iiint_\Omega z^2\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1/\sqrt2}\!\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz\,dr\,d\theta.$ Цилиндрические координаты здесь удобнее сферических: и конус, и сфера дают аккуратные пределы по $z$.

4. 4

   Интегрируем по $z$ и убираем $\theta$. $\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz=\frac{r}{3}\Bigl[(1-r^2)^{3/2}-r^3\Bigr],$ а от $\theta$ подынтегральное выражение не зависит, поэтому интегрирование по $\theta$ даёт множитель $2\pi$.

5. 5

   Вычисляем два радиальных интеграла. Подстановкой $u=1-r^2$ находим $\int_0^{1/\sqrt2}r(1-r^2)^{3/2}\,dr=\frac12\int_{1/2}^{1}u^{3/2}\,du=\frac15\left(1-\frac{1}{4\sqrt2}\right),$ и $\int_0^{1/\sqrt2}r^4\,dr=\frac15\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{5}=\frac{1}{20\sqrt2}.$

6. 6

   Собираем всё вместе. В скобках получается $\tfrac15-\tfrac{1}{20\sqrt2}-\tfrac{1}{20\sqrt2}=\tfrac15-\tfrac{1}{10\sqrt2}$, поэтому $\iiint_\Omega z^2\,dV=\frac{2\pi}{3}\left(\frac15-\frac{1}{10\sqrt2}\right)=\frac{\pi}{15}\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{\pi(4-\sqrt2)}{30}.$ Численно это $0.270783$, что совпадает с прямым численным интегрированием исходного интеграла.