Найдите производную функции y = sin²x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала правильно прочитаем обозначение. Запись $\sin^2 x$ означает $\left(\sin x\right)^2$, а не $\sin\left(x^2\right)$. Внешняя функция — возведение в квадрат, внутренняя — синус; если перепутать их местами, получится $2x\cos(x^2)$, то есть совсем другой ответ.

2. 2

   Применим цепное правило с явной заменой. Положим

   $u=\sin x\ \Longrightarrow\ y=u^2$

   Тогда цепное правило даёт

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}$

3. 3

   Продифференцируем внутреннюю функцию.

   $\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

   (Именно здесь важны радианы: равенство $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ верно только для радианной меры.)

4. 4

   Вернёмся к исходной переменной.

   $\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$

   Обратите внимание: $u$ обязательно нужно заменить на $\sin x$ — ответ в виде $2u\cos x$ был бы незавершённым.

5. 5

   Перепишем через формулу двойного угла. Поскольку $\sin 2x=2\sin x\cos x$,

   $\frac{dy}{dx}=\sin 2x$

   Обе формы верны; компактная сразу показывает нули производной — они в точках $x=\tfrac{k\pi}{2}$.

6. 6

   Проверим численно. При $x=0.7$ центральная разность даёт $0.98544973$, и $\sin(1.4)=0.98544973$ ✓. Структурная проверка: у $y=\sin^2x$ минимумы в точках $x=0,\pi$ и максимум при $x=\tfrac\pi2$, а $\sin 2x$ обращается в ноль ровно в этих точках.