Найдите производную y = (e^x + 1)/x³.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем дробь как произведение. Перенос $x^3$ в числитель с отрицательной степенью избавляет от громоздкого знаменателя по правилу дроби:

   $y=(e^x+1)\,x^{-3}$

   Область определения исключает $x=0$, так как исходная функция там не определена.

2. 2

   Оформим правило произведения. Пусть $u=e^x+1$, $v=x^{-3}$,

   $u'=e^x,\qquad v'=-3x^{-4}$

   Заметим, что $u'=e^x$, а не $e^x+1$ — производная константы $1$ равна нулю.

3. 3

   Применим $(uv)'=u'v+uv'$.

   $y'=e^x\cdot x^{-3}+(e^x+1)\left(-3x^{-4}\right)=\frac{e^x}{x^3}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}$

4. 4

   Приведём к общему знаменателю $x^4$. Домножим первый член на $\tfrac{x}{x}$:

   $y'=\frac{x e^x}{x^4}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}=\frac{x e^x-3e^x-3}{x^4}$

5. 5

   Вынесем экспоненту за скобки для упрощения.

   $y'=\frac{e^x(x-3)-3}{x^4}$

   Оставшийся $-3$ нельзя включить в скобку, так как он получен при дифференцировании константы $1$ в числителе.

6. 6

   Проверим численно на нескольких значениях. Сравнение с симметричной разностью с шагом $10^{-6}$: при $x=0.6$ обе формулы дают $-56.8911$; при $x=1.7$ — $-1.21121$; при $x=-2.2$ — $-0.152661$ ✓, в том числе при отрицательном $x$, где важна нечётная степень $x^3$.