Вычислите двойной интеграл x·cos(x+y) по треугольнику с вершинами (0,0), (π,0) и (π,π).

Step-by-step solution

1. 1

   Описываем треугольник через неравенства. Вершины соединяются прямыми $y=0$, $x=\pi$ и $y=x$, поэтому область задаётся условиями $\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le x\}$. Сначала интегрируем по $y$, чтобы переменные пределы были во внутреннем интеграле.

2. 2

   Интегрируем по y. $\int_0^{x}\cos(x+y)\,dy=\left[\sin(x+y)\right]_0^{x}=\sin 2x-\sin x$, поэтому результат внутреннего интеграла — $x\left(\sin 2x-\sin x\right)$.

3. 3

   Разбиваем на два стандартных интеграла. Получается $\int_0^{\pi}x\sin 2x\,dx$ и $\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$, оба считаются по частям при $u=x$.

4. 4

   Вычисляем первый интеграл по частям. $\int x\sin 2x\,dx=-\frac{x\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$. При $x=\pi$ это $-\frac{\pi}{2}$ (так как $\cos 2\pi=1$, $\sin 2\pi=0$), при $x=0$ — $0$, значит, значение равно $-\frac{\pi}{2}$.

5. 5

   Вычисляем второй интеграл по частям. $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$. При $x=\pi$ это $\pi$ (так как $\cos\pi=-1$), при $x=0$ — $0$, значит, значение равно $\pi$.

6. 6

   Собираем с учётом знака минус. Итоговый интеграл: $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712389$.

7. 7

   Проверяем численно. Адаптивное численное интегрирование по треугольнику даёт $-4.71238898$, а $-\frac{3\pi}{2}=-4.71238898$, значит, точное значение подтверждено.