Вычислить тройной интеграл от −5y, где x меняется от −1 до 1, y — от 0 до √(9 − x²), а z — от 0 до 9 − x² − y². Указать точное значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала интегрируем по z, ведь подынтегральная функция от z не зависит. Так как $-5y$ постоянно относительно $z$, внутренний интеграл — это просто подынтегральное выражение, умноженное на высоту столбика: $\int_0^{9-x^2-y^2}(-5y)\,dz=-5y\left(9-x^2-y^2\right)$.

2. 2

   Вводим обозначение для радиуса, зависящего от x. Положим $a^2=9-x^2$, тогда пределы по $y$ идут от $0$ до $a$, а подынтегральное выражение принимает вид $-5y(a^2-y^2)=-5\left(a^2y-y^3\right)$. Обозначение $a$ делает выкладки читаемыми и показывает, почему интеграл по $y$ получается таким аккуратным.

3. 3

   Считаем интеграл по y. $\int_0^{a}\left(a^2y-y^3\right)dy=\frac{a^2\cdot a^2}{2}-\frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{4}$, поэтому после двух внутренних интегрирований остаётся $-\frac{5a^4}{4}=-\frac54\left(9-x^2\right)^2$.

4. 4

   Раскрываем скобки и пользуемся чётностью по x. Функция $\left(9-x^2\right)^2=81-18x^2+x^4$ чётная, поэтому $\int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$. Внешний интеграл равен $-\frac54\cdot 2\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx$.

5. 5

   Вычисляем последний интеграл. $\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx=\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=81-6+\frac15=\frac{376}{5}$.

6. 6

   Собираем всё вместе и получаем точное значение. $-\frac54\cdot 2\cdot\frac{376}{5}=-\frac52\cdot\frac{376}{5}=-188$.

7. 7

   Численная проверка. Адаптивное численное интегрирование исходного тройного интеграла даёт $-188.000000$ (оценка погрешности $2\times10^{-12}$), что совпадает с точным значением.