Доказать, что график f(x) = √(9x² − 6x + 3) имеет наклонную асимптоту при x → +∞, найти её уравнение и выяснить, выше или ниже неё лежит кривая.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выясняем поведение на бесконечности. У подкоренного выражения $9x^2-6x+3$ положительный старший коэффициент, а дискриминант $36-108=-72<0$, поэтому оно положительно при любом вещественном $x$ и $f$ определена на всей $\mathbb{R}$. При $x\to+\infty$ подкоренное выражение $\to+\infty$, значит и $f(x)\to+\infty$: график уходит вверх, и единственная возможная асимптота — наклонная прямая.

2. 2

   Выделяем полный квадрат под корнем. Вынесем $9$ из слагаемых с $x$:

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   а так как $9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$, то

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   Эта каноническая форма и есть ключевой шаг: она вытаскивает наружу линейную функцию, спрятанную под корнем.

3. 3

   Угадываем асимптоту по канонической форме. Записав

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   видим, что при больших $x$ слагаемое $+2$ пренебрежимо мало по сравнению с $(3x-1)^2$, поэтому $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$ при $x>\tfrac13$. Значит, кандидат в асимптоты —

   $\Delta:\ y=3x-1$

4. 4

   Доказываем это домножением на сопряжённое. Положим $h(x)=f(x)-(3x-1)$. Это неопределённость вида $\infty-\infty$, поэтому умножим и разделим на сопряжённое выражение:

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   В числителе стоит постоянная $2$, а знаменатель $\to+\infty$, поэтому

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   а это и есть определение того, что $y=3x-1$ — асимптота кривой $C$ при $+\infty$.

5. 5

   По знаку $h$ определяем расположение кривой. При $x>\tfrac13$ оба слагаемых в знаменателе положительны, поэтому

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   Значит, $f(x)>3x-1$: кривая лежит выше своей асимптоты и приближается к ней сверху, никогда её не касаясь.

6. 6

   Подводим итог и смотрим на другой конец.

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ — асимптота при }+\infty,\ \text{ причём } C \text{ выше } \Delta}$

   Численно: $f(10)-29=0.0345$, а $f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$ — убывает как $\tfrac{1}{3x}$. Таким же расчётом с $|3x-1|=1-3x$ получаем асимптоту при $-\infty$: $y=-3x+1$, и кривая снова лежит выше неё.