Вычислите предел выражения √(x³ + 4x²)/x при x, стремящемся к 0, если он существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. Подкоренное выражение и $x$ стремятся к $0$, поэтому получается неопределённость $\frac{0}{0}$ — требуется преобразование.

2. 2

   Вынесем множитель под корнем. $x^3+4x^2=x^2(x+4)$, значит, $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$ при $x+4\ge 0$.

3. 3

   Корректно раскроем корень. Важно помнить, что $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $x$. Ошибка $\sqrt{x^2}=x$ приводит к неверному ответу $2$.

4. 4

   Упростим дробь. $\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$, так как $\frac{|x|}{x}$ равно $+1$ при $x>0$ и $-1$ при $x<0$.

5. 5

   Вычислим односторонние пределы. Справа $\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$. Слева $\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$.

6. 6

   Делаем вывод. Односторонние пределы конечны, но различны — значит, двустороннего предела не существует; функция испытывает скачок величиной $4$ в нуле.