Решить дифференциальное уравнение (e^y + 6x) dx + x e^y dy = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим две функции-коэффициента и проверим уравнение на точность. При

   $M(x,y)=e^y+6x,\qquad N(x,y)=xe^y$

   уравнение будет уравнением в полных дифференциалах, если $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$. Здесь

   $\frac{\partial M}{\partial y}=e^y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

   Они совпали, значит потенциал $F(x,y)$ с условиями $F_x=M$ и $F_y=N$ существует — и никакой интегрирующий множитель не нужен.

2. 2

   Проинтегрируем $M$ по $x$, чтобы начать строить $F$. Считая $y$ постоянной,

   $F(x,y)=\int\left(e^y+6x\right)dx=xe^y+3x^2+g(y)$

   «Постоянная» интегрирования здесь — неизвестная функция от $y$: всё, что зависит только от $y$, обращается в ноль при $\partial/\partial x$.

3. 3

   Продифференцируем кандидата по $y$ и сравним с $N$.

   $\frac{\partial F}{\partial y}=xe^y+g'(y)\stackrel{!}{=}N=xe^y$

4. 4

   Найдём неизвестную функцию. Сократив $xe^y$ в обеих частях, получаем

   $g'(y)=0\quad\Rightarrow\quad g(y)=\text{const}$

   Полное сокращение зависимости от $y$ — это и есть выигрыш от условия точности; если бы осталось слагаемое, зависящее только от $y$, его просто проинтегрировали бы здесь.

5. 5

   Запишем общее решение в неявном виде. У уравнений в полных дифференциалах решения имеют вид $F(x,y)=C$:

   $xe^y+3x^2=C$

   Произвольная постоянная поглощает константу из $g$.

6. 6

   Проверим дифференцированием ответа. Возьмём дифференциал обеих частей равенства $xe^y+3x^2=C$:

   $\left(e^y+6x\right)dx+xe^y\,dy=0$

   а это в точности исходное уравнение ✓. (В явном виде $y=\ln\frac{C-3x^2}{x}$ там, где выражение под логарифмом положительно.)