Найти производную y = arctan(e^{-a/2}) по a и упростить результат.

Step-by-step solution

1. 1

   Сделаем замену внутренней переменной для применения цепного правила. Пусть

   $u=e^{-a/2},\qquad y=\tan^{-1}(u).$

   Известно, что производная арктангенса равна $\frac{d}{du}\tan^{-1}u=\frac{1}{1+u^{2}}$, следовательно,

   $\frac{dy}{da}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{da}.$

2. 2

   Вычислим производную внутренней экспоненциальной функции. Показатель степени — линейная функция от $a$ с коэффициентом $-\tfrac12$, поэтому

   $\frac{du}{da}=-\frac12 e^{-a/2}.$

   Здесь важно, что производная экспоненты совпадает с самой функцией только при показателе $a$; множитель $-\tfrac12$ появляется из производной показателя.

3. 3

   Возведём внутреннюю функцию в квадрат — именно здесь показатели складываются. Поскольку $\left(e^{-a/2}\right)^{2}=e^{-a}$,

   $1+u^{2}=1+e^{-a}.$

   Запись $u^{2}$ как $e^{-a}$, а не $\left(e^{-a/2}\right)^{2}$, позволяет упростить итоговую дробь; возведение в квадрат компенсирует деление показателя на два.

4. 4

   Подставим найденные выражения в формулу производной. Получаем:

   $\frac{dy}{da}=\frac{-\tfrac12 e^{-a/2}}{1+e^{-a}}=-\frac{e^{-a/2}}{2\left(1+e^{-a}\right)}.$

   Знак минус указывает, что производная отрицательна при любом $a$: функция $e^{-a/2}$ убывает при росте $a$, а $\tan^{-1}$ возрастает, поэтому вся композиция убывает.

5. 5

   Упростим выражение, избавившись от отрицательных показателей. Домножим числитель и знаменатель на $e^{a}$:

   $\frac{dy}{da}=-\frac{e^{a/2}}{2\left(e^{a}+1\right)}.$

   Обе формы совпадают численно: при $a=0{,}8$ центральная разность $y$ даёт $-0{,}23125186$, и оба аналитических выражения дают тот же результат ✓. Вторая форма предпочтительнее при больших $a$, когда $e^{-a}$ становится слишком малым.