Пусть f дважды дифференцируема на всей R. Верно ли, что для любого ξ найдутся x₁ и x₂ такие, что f'(ξ) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)? Докажите или приведите пример-опровержение.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что речь идёт об обратной теореме Лагранжа, а не о самой теореме. Теорема Лагранжа утверждает, что любой угловой коэффициент секущей равен некоторому значению производной. Здесь же спрашивается обратное: достигается ли каждое значение производной как угловой коэффициент секущей. Обратные утверждения требуют отдельного доказательства — либо примера-опровержения.

2. 2

   Найдём препятствие. По основной теореме анализа, любой угловой коэффициент секущей есть среднее значение производной:

   $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt$

   Среднее значение $f'$ по интервалу положительной длины не может превышать точную верхнюю грань $f'$, и достигается она только если $f'$ постоянно на всём интервале. Значит, если $f'$ достигает строгого максимума в единственной точке $\xi$, то значение $f'(\xi)$ не может быть угловым коэффициентом секущей.

3. 3

   Приведём пример-опровержение. Рассмотрим

   $f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$

   Такая функция $f$ дважды (а на самом деле бесконечно) дифференцируема на всей $\mathbb{R}$, как требуется по условию.

4. 4

   Покажем, что значение f′(0) = 1 недостижимо. Для любых $x_1<x_2$ имеем

   $\frac{\arctan x_2-\arctan x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{1+t^{2}}<\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}1\,dt=1$

   Неравенство строгое, поскольку $\tfrac{1}{1+t^{2}}<1$ при всех $t\neq 0$, а одна точка не влияет на значение интеграла. Значит, ни один угловой коэффициент секущей не достигает $1=f'(0)$.

   $\boxed{\text{Утверждение ЛОЖНО; }f(x)=\arctan x\text{ при }\xi=0\text{ даёт опровержение}}$

5. 5

   Проверим значения. Наибольшие угловые коэффициенты секущих для $\arctan$ получаются на малых симметричных интервалах вокруг $0$: для $[-h,h]$ коэффициент равен $\tfrac{2\arctan h}{2h}=\tfrac{\arctan h}{h}$, что при $h=0.1$ даёт $0.9967$, а при $h=0.01$ — $0.99997$, то есть значения стремятся к $1$, но никогда его не достигают.

6. 6

   Когда утверждение верно? Если $f'$ принимает своё значение в точке $\xi$ не как изолированный экстремум — например, если $f'$ монотонна, либо если $f'(\xi)$ лежит строго между $\inf f'$ и $\sup f'$ — то по теореме о промежуточном значении для функции углового коэффициента секущей подходящие $x_1,x_2$ действительно существуют. Проблема возникает только для значений $f'$ в точках строгих глобальных экстремумов.