Пусть f определена на (0, ∞) как f(x) = (3 + √x) / (4√x). Найдите предел f(x) и предел f(f(x)) при x → ∞.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим дробь, чтобы избавиться от неопределённости. В исходном виде $f(x)$ представляет собой форму $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель на знаменатель по частям:

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   Такое преобразование корректно для любого $x>0$, где $\sqrt{x}\neq 0$.

2. 2

   Находим первый предел. При $x\to+\infty$ имеем $\sqrt{x}\to+\infty$, поэтому $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$, и

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   Прямая $y=\tfrac14$ — горизонтальная асимптота графика, к которой функция стремится сверху, так как $\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ при всех $x>0$.

3. 3

   Нельзя просто подставить $+\infty$ во внешнюю функцию. Для $f(f(x))$ внутренний предел не уходит в бесконечность — он стремится к $\tfrac14$. Здесь применима теорема о пределе композиции: если $f(x)\to L$ при $x\to+\infty$, и $f$ непрерывна в точке $L$, то

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

4. 4

   Проверим применимость теоремы. Здесь $L=\tfrac14$, эта точка лежит в области определения $\left]0,+\infty\right[$, а функция $f$ непрерывна на этом промежутке (так как построена из $\sqrt{x}$ и дроби с ненулевым знаменателем $4\sqrt{x}$). Кроме того, $f(x)>\tfrac14>0$ для любого $x>0$, значит, значения внутренней функции действительно остаются в области определения внешней $f$ — композиция корректна около бесконечности.

5. 5

   Вычислим внешнюю функцию в точке $L=\tfrac14$. Так как $\sqrt{1/4}=\tfrac12$:

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

6. 6

   Проверим численно. При $x=10^4$: $f(x)=0.2575$, $f(f(x))=1.72799$. При $x=10^8$: $f(x)=0.250075$, $f(f(x))=1.749775$. Значения приближаются к $\tfrac14=0.25$ и $\tfrac74=1.75$, что полностью подтверждает рассуждение о непрерывности.