Для интеграла (x − 4y) по прямоугольнику −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1: опишите область, вычислите двойной интеграл, затем поменяйте порядок интегрирования и вычислите снова.

Step-by-step solution

1. 1

   (a) Анализируем пределы интегрирования. Внутренний интеграл берётся по $x$ с постоянными пределами $-1$ и $2$, внешний — по $y$ от $0$ до $1$. Так как все четыре предела — числа, область интегрирования представляет собой прямоугольник:

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\}$

   с вершинами $(-1,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ и $(-1,1)$.

2. 2

   (b) Интегрируем сначала по x, считая y постоянным.

   $\int_{-1}^{2}(x-4y)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4yx\right]_{-1}^{2}=(2-8y)-\left(\tfrac12+4y\right)=\frac{3}{2}-12y$

3. 3

   Интегрируем полученное выражение по y.

   $\int_{0}^{1}\left(\frac32-12y\right)dy=\left[\frac{3y}{2}-6y^{2}\right]_{0}^{1}=\frac32-6=-\frac92$

4. 4

   (c) Меняем порядок интегрирования. Для прямоугольной области пределы просто меняются местами — разбиение на случаи не требуется, так как диапазон ни одной переменной не зависит от другой:

   $\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy\,dx$

5. 5

   Вычисляем в новом порядке. Сначала интегрируем по $y$:

   $\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy=\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{1}=x-2$

   затем по $x$:

   $\int_{-1}^{2}(x-2)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{-1}^{2}=(2-4)-\left(\tfrac12+2\right)=-2-\tfrac52=-\frac92$

   $\boxed{-\dfrac92}$

6. 6

   Проверяем результат с помощью свойства. Так как подынтегральная функция раскладывается, а область — прямоугольник, имеем: $\iint_D(x-4y)\,dA=\left(\int_{-1}^{2}x\,dx\right)(1)-4\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)(3)=\tfrac32-4\left(\tfrac12\right)(3)=\tfrac32-6=-\tfrac92$, что совпадает с обоими порядками — это проявление теоремы Фубини, гарантирующей одинаковый результат для непрерывной функции на прямоугольнике.