Найти Лаплас-преобразование функции f(t) = t·e^{2t} и указать область сходимости.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с известного преобразования. По основной формуле для степенной функции имеем

   $\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad\text{откуда}\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\quad (s>0).$

   Всё остальное в этой задаче связано с экспоненциальным множителем, для которого существует специальное правило.

2. 2

   Применим теорему первого сдвига. Согласно теореме, умножение функции на $e^{at}$ сдвигает её Лаплас-преобразование:

   $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$

   В нашем случае $f(t)=t$, $F(s)=\tfrac{1}{s^{2}}$, $a=2$, поэтому каждую $s$ заменяем на $s-2$:

   $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

3. 3

   Проверим через правило умножения на $t$. Альтернативный способ — воспользоваться формулой $\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}$, где $g(t)=e^{2t}$, а его преобразование — $\tfrac{1}{s-2}$:

   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

   Совпадение результатов по двум разным теоремам подтверждает правильность ответа.

4. 4

   Проверим напрямую по определению. Используем интегрирование по частям при $u=t$, $dv=e^{-(s-2)t}dt$:

   $\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-2)t}\,dt=\left[\frac{-t\,e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}dt=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

5. 5

   Укажем область сходимости. Граничный член обращается в ноль, а итоговый интеграл сходится только при отрицательном показателе экспоненты $-(s-2)$, то есть

   $s-2>0\;\Longleftrightarrow\;s>2.$

   Это также видно из самого ответа: преобразование имеет двойной полюс при $s=2$, и область сходимости всегда лежит правее самого правого полюса.