Докажите, что у любой последовательности вещественных чисел есть монотонная подпоследовательность.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём нужное понятие: пик. Будем называть индекс $n$ пиком последовательности, если

   $a_n\ge a_m\quad\text{для всех }m>n$

   то есть ни один следующий член не превосходит $a_n$. Каждый индекс либо является пиком, либо нет, поэтому всё доказательство разбивается на два случая — эта дихотомия и составляет основную идею.

2. 2

   Случай 1: пиков бесконечно много. Перечислим их как $n_1<n_2<n_3<\cdots$. Так как $n_k$ — пик и $n_{k+1}>n_k$, по определению получаем

   $a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$

   для любого $k$, значит, $\{a_{n_k}\}$ — невозрастающая подпоследовательность. В этом случае задача решена.

3. 3

   Случай 2: пиков лишь конечное число. Обозначим $N$ — номер, больший любого пика, то есть ни один индекс $n\ge N$ не является пиком. По определению «не пика», для каждого такого $n$ найдётся $m>n$, для которого

   $a_m>a_n$

4. 4

   Построим строго возрастающую подпоследовательность рекурсивно. Положим $n_1=N$. Так как $n_1$ не пик, выберем $n_2>n_1$ с $a_{n_2}>a_{n_1}$. Поскольку $n_2\ge N$ также не пик, выберем $n_3>n_2$ с $a_{n_3}>a_{n_2}$, и так далее. Получается последовательность индексов $n_1<n_2<n_3<\cdots$, для которых

   $a_{n_1}<a_{n_2}<a_{n_3}<\cdots$

   — это строго возрастающая подпоследовательность.

5. 5

   Делаем вывод. В каждом из двух случаев найдена монотонная подпоследовательность, а других вариантов нет, значит,

   $\boxed{\text{У любой вещественной последовательности есть монотонная подпоследовательность}}$

6. 6

   Отметим следствие и проверим крайние случаи. В сочетании с тем, что ограниченная монотонная последовательность сходится, это даёт теорему Больцано–Вейерштрасса. Два примера для проверки: для $a_n=(-1)^n$ пики — чётные индексы (их бесконечно много), получаем постоянную — а значит, невозрастающую — подпоследовательность $1,1,1,\ldots$; для $a_n=n$ пиков нет вообще, и по второму случаю строится возрастающая подпоследовательность $1,2,3,\ldots$. Обратите внимание: утверждение — о монотонности, а не о сходимости; неограниченная последовательность может иметь монотонную подпоследовательность, но не сходящуюся.