Составить дифференциальное уравнение семейства гипербол с центром в начале координат и действительной осью, лежащей на оси x.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем произвольные постоянные, чтобы заранее знать порядок. Семейство содержит два независимых параметра, $a$ и $b$. Исключение $n$ постоянных требует $n$ дифференцирований, поэтому ответом будет дифференциальное уравнение второго порядка. Знание этого заранее подсказывает, когда пора остановиться.

2. 2

   Дифференцируем один раз по $x$. Считая $y$ функцией от $x$ и применяя к $y^2$ правило дифференцирования сложной функции:

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   Единица в правой части исходного уравнения уже исчезла — получено первое соотношение между $a^2$ и $b^2$.

3. 3

   Дифференцируем второй раз. Дифференцируем $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$, применяя к $y\,y'$ правило произведения:

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

4. 4

   Делим одно соотношение на другое и убиваем сразу обе постоянные. Оба уравнения имеют вид (что-то)$/a^2$ = (что-то)$/b^2$, поэтому при делении первого на второе отношение $b^2/a^2$ сокращается:

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   В этом и главная экономия метода: одно деление убирает $a$ и $b$ вместе, вместо того чтобы выражать каждую постоянную отдельно.

5. 5

   Освобождаемся от знаменателя и получаем дифференциальное уравнение.

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   или, перенеся всё в одну сторону,

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   Ни $a$, ни $b$ здесь не осталось, поэтому уравнение верно для любой кривой семейства — а это ровно то, что и означают слова «дифференциальное уравнение семейства».

6. 6

   Проверяем на конкретной кривой. Возьмём $a=2$, $b=3$, то есть $y=3\sqrt{x^2/4-1}$, и вычислим значения при $x=3$: там $y=3.354102$, $y'=2.012461$ и $y''=-0.536656$. Тогда

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   Обе части совпали, и повторение проверки с другими $a,b$ даёт то же согласие — значит, постоянные действительно исключены.