Найти предел (ln(1 + 2x) − 2x)/x² при x → 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем вид неопределённости и нужный порядок разложения. При $x = 0$ числитель равен $\ln 1 - 0 = 0$, знаменатель тоже $0$, то есть перед нами $0/0$. Поскольку в знаменателе стоит $x^2$, числитель нужно разложить как минимум до порядка $x^2$ — разложение первого порядка даст $0$ и ничего не прояснит.

2. 2

   Раскладываем ln(1 + u) до второго порядка. Ряд Маклорена имеет вид

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   Подставляя $u = 2x$, получаем:

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   Заметим, что $(2x)^2 = 4x^2$, поэтому коэффициент при квадрате равен $-2$, а не $-\tfrac12$.

3. 3

   Вычитаем 2x — линейные члены сокращаются, и это задумано.

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   В этом сокращении и состоит весь смысл задачи: слагаемое $-2x$ поставлено именно для того, чтобы обнажить квадратичное поведение логарифма.

4. 4

   Делим на x².

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   При $x \to 0$ остаток $O(x)$ обращается в нуль, поэтому предел равен $-2$.

5. 5

   Перепроверяем правилом Лопиталя: применяем его один раз, дальше алгебра. Первое применение:

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   что упрощается до $\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$. Численно: при $x = 10^{-4}$ частное равно $-1.99973$, а при $x = -10^{-4}$ оно равно $-2.00027$, так что значение $-2$ зажато между ними.