Вычислить пределы: (1) предел при x → 3 выражения √(x² + 6x − 2); (2) предел при x → 3 выражения (x² + 2x − 15)/(x − 3); (3) предел при x → 4 выражения (√x − 2)/(x − 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Всегда сначала пробуем прямую подстановку. Если подстановка предельного значения даёт определённое число, а функция там непрерывна, то это число и есть предел. Дальнейшая работа нужна только тогда, когда подстановка приводит к неопределённости вида $\tfrac00$.

2. 2

   (1) Подстановка проходит. Подкоренное выражение при $x=3$ равно $9+18-2=25>0$, а функция $\sqrt{\ }$ непрерывна там, где её аргумент положителен, поэтому

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{x^{2}+6x-2}=\sqrt{25}=5$

3. 3

   (2) Подстановка даёт 0/0, значит, раскладываем на множители. При $x=3$ числитель равен $9+6-15=0$, знаменатель тоже равен $0$. По теореме Безу числитель делится на $(x-3)$:

   $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

   При $x\neq 3$ общий множитель сокращается, и сокращение законно именно потому, что предел никогда не вычисляет функцию в самой точке $x=3$:

   $\lim_{x\to 3}\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$

4. 4

   (3) Подстановка даёт 0/0 с радикалом, поэтому умножаем на сопряжённое. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt x+2$:

   $\frac{\sqrt x-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt x+2\right)}$

   здесь использовано $\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)=x-4$.

5. 5

   Сокращаем и подставляем.

   $\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$

   $\boxed{5,\qquad 8,\qquad \tfrac14}$

6. 6

   Проверим численно. При $x=3.001$: $\sqrt{x^2+6x-2}=5.0012$ и $\tfrac{x^2+2x-15}{x-3}=8.001$. При $x=4.001$: $\tfrac{\sqrt x-2}{x-4}=0.24998$. Все три величины стремятся к указанным значениям. Дополнительная проверка для (3): по определению этот предел есть производная функции $\sqrt x$ в точке $x=4$, то есть $\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$ ✓.