Найдите предел при x → ∞ выражения √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1)).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разбираемся с подкоренным выражением. Квадратный корень непрерывен на $[0,\infty)$, поэтому

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   при условии, что внутренний предел существует и неотрицателен. Значит, считаем предел дроби, а корень извлекаем один раз в самом конце.

2. 2

   Делим числитель и знаменатель на старшую степень $x^2$. Это стандартный приём для предела на бесконечности: все младшие слагаемые превращаются в бесконечно малые:

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

3. 3

   Обнуляем слагаемые с $1/x$. При $x\to\infty$ каждое из выражений $\tfrac{25}{x}$, $\tfrac{16}{x^2}$, $\tfrac{4}{x}$ и $\tfrac{1}{x^2}$ стремится к $0$:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   Степени числителя и знаменателя совпадают, поэтому предел равен просто отношению старших коэффициентов.

4. 4

   Извлекаем квадратный корень.

   $\sqrt{4} = 2$

   Ответ — $+2$, арифметический корень; знак $\pm$ здесь был бы ошибкой, ведь рассматриваемое выражение всюду является неотрицательным квадратным корнем.

5. 5

   Остерегаемся заманчивого сокращения. Запись $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$ случайно даёт верное значение, но только потому, что оба старших коэффициента — полные квадраты и $x > 0$. Надёжный путь — всегда сначала упрощать подкоренное выражение.

6. 6

   Проверяем численно. При $x = 1000$: числитель $= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$, знаменатель $= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$, отношение $= 3.999001$, корень $= 1.999750$. При $x = 10^6$ корень равен $1.99999975$ ✓ — сходимость к $2$, и символьное вычисление предела даёт ровно $2$.