Вычислите интеграл от sinⁿ(x) в пределах от 0 до π/2 для целого неотрицательного n.

Step-by-step solution

1. 1

   Отделим один синус и проинтегрируем по частям. Запишем $\sin^{n}x=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ и положим

   $u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\quad v=-\cos x$

   Внеинтегральный член $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$ обращается в нуль на обоих концах — сверху из-за $\cos\tfrac\pi2=0$, снизу из-за $\sin 0=0$, — и именно ради этого выбраны такие пределы.

2. 2

   Вернём $\cos^{2}$ к $\sin$. Остаётся

   $I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx$

   откуда

   $I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

   Исходный интеграл появился справа — это сигнал выразить его алгебраически, а не интегрировать заново.

3. 3

   Выразим $I_{n}$ и получим рекуррентную формулу. Прибавив $(n-1)I_{n}$ к обеим частям, получаем $nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$, то есть

   $I_{n}=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$

   Каждое применение понижает индекс на два, поэтому рекурсия обрывается на $I_{0}$ или на $I_{1}$ — в зависимости от чётности $n$.

4. 4

   Вычислим два базовых случая.

   $I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=1$

   Они — единственный источник числа $\pi$: оно уцелевает только в чётной цепочке.

5. 5

   Раскрутим рекурсию в формулы Валлиса.

   $I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 1}{n(n-2)\cdots 2}\cdot\frac{\pi}{2}\ \ (n\text{ чётное}),\qquad I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3}\ \ (n\text{ нечётное})$

   Например, $I_{4}=\tfrac34\cdot\tfrac12\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{3\pi}{16}=0.58905$ и $I_{5}=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{15}=0.53333$.

6. 6

   Отметим единую формулу для обеих чётностей. Через гамма-функцию

   $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}$

   Численное интегрирование при $n$ от $0$ до $7$ во всех случаях совпадает с этим до десятого знака ✓, а сама формула распространяет результат и на нецелые $n>-1$.