Найдите производную функции f(x) = x²/2 + cos 5x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём сумму. Дифференцирование линейно, поэтому $\dfrac{x^2}{2}$ и $\cos 5x$ можно обработать по отдельности, а результаты сложить.

2. 2

   Продифференцируем квадратичное слагаемое. $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{2x}{2}=x$.

3. 3

   Продифференцируем косинус по цепному правилу. Внутренняя функция — $u=5x$, её производная равна $5$. Поскольку $\dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u$, $\frac{d}{dx}\cos 5x=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin 5x.$ Забыть внутренний множитель $5$ — или потерять минус — обычная здесь ошибка.

4. 4

   Соединим две части. $f\'(x)=x-5\sin 5x.$

5. 5

   Проверим численно. При $x=0.7$ формула даёт $0.7-5\sin 3.5=0.7-5(-0.3507832)=2.453916$, и центральная разность для $f$ в точке $x=0.7$ совпадает с этим значением до шести знаков.