Пусть f — положительная непрерывная функция на [0; π/2]. Известно, что интегралы e^{f(x)}·sin x·ln f(x) и e^{f(x)}·cos x·ln f(x) равны нулю. Докажите, что существует x₁ ∈ (0; π/2), для которого f(x₁) = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Переформулируем утверждение через $\ln f$. Так как $f>0$, функция $g(x)=\ln f(x)$ определена и непрерывна на всём отрезке, причём

   $f(x_1)=1\iff g(x_1)=0.$

   Таким образом, требуется доказать, что $g$ обращается в ноль на $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$. Перевод утверждения «f принимает значение 1» к «g имеет корень» позволяет применить теорему о промежуточном значении.

2. 2

   Определим знак веса. На интервале $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ выполняется $\sin x>0$, а $e^{f(x)}>0$ всюду, так как экспонента всегда положительна. Следовательно, вес

   $w(x)=e^{f(x)}\sin x$

   строго положителен на $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$, и знак подынтегрального выражения $w(x)g(x)$ определяется только $g$.

3. 3

   Доказательство от противного с помощью теоремы о промежуточном значении. Предположим, что $g$ не обращается в ноль на $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$. Непрерывная функция без нулей на интервале не может менять знак — если бы она принимала и положительные, и отрицательные значения, то по теореме о промежуточном значении между ними был бы ноль. Значит, либо $g>0$ всюду, либо $g<0$ всюду.

4. 4

   Получим противоречие из $I_1=0$. В первом случае $w g>0$ на всём интервале, поэтому подынтегральная функция непрерывна и строго положительна, и

   $I_1=\int_0^{\pi/2}w(x)g(x)\,dx>0.$

   Во втором случае аналогично $I_1<0$. В любом случае $I_1\ne0$, что противоречит условию. Значит, $g$ обязательно обращается в ноль на $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$, то есть $f(x_1)=1$ для некоторого $x_1$. $\blacksquare$

5. 5

   Поясним, зачем нужно второе условие. В доказательстве использовалось только $I_1=0$; условие $I_2=0$ не понадобилось, так как $\cos x>0$ на $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ и $I_2$ несёт ту же информацию. Любой из интегралов по отдельности даёт тот же вывод. Существенно, что вес сохраняет знак на всём интервале — если заменить $\sin x$ на $\cos 2x$, который меняет знак при $\pi/4$, то рассуждение рушится: постоянная $f\equiv e$ даёт $\int_0^{\pi/2}e^{e}\cos 2x\,dx=0$, при этом $f$ вообще нигде не равна $1$.