Найдите неопределённый интеграл (1 + tg²y) по y.

Step-by-step solution

1. 1

   Не стоит интегрировать по отдельности. Разделение на $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$ формально допустимо, но бессмысленно: у второго слагаемого нет элементарной первообразной, которую можно записать без использования именно того тождества, которое и решает всю задачу.

2. 2

   Применим основное тригонометрическое тождество. Начав с $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ и поделив все слагаемые на $\cos^2\theta$, получаем

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   Значит, подынтегральное выражение — это просто $\sec^{2}y$.

3. 3

   Заметим, что это производная знакомой функции. Поскольку

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   интеграл сразу находится:

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   Запишем ответ с постоянной интегрирования:

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. Применяя правило частного к $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$, получаем:

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   что совпадает с исходным подынтегральным выражением. Первообразная верна на каждом промежутке, где $\cos y\neq 0$, то есть между нечётными кратными $\tfrac{\pi}{2}$.