Найти сумму xⁿ / n² по n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим радиус сходимости. Применяя признак d'Aламбера, получаем

   $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to\left|x\right|$

   Следовательно, ряд сходится при $\left|x\right|<1$. На концах интервала он тоже сходится: при $x=1$ это $p$-ряд с $p=2$, а при $x=-1$ ряд сходится абсолютно. Таким образом, область определения суммы — замкнутый интервал $\left|x\right|\le 1$.

2. 2

   Построим выражение через геометрическую прогрессию двойным интегрированием. Начнем с $\sum_{n\ge 1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$ и проинтегрируем один раз:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$

   Деление на $x$ и второе интегрирование добавляют еще один $n$ в знаменатель:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

3. 3

   Отметим, что этот интеграл не выражается через элементарные функции. В отличие от $\sum x^{n}/n$, второй первообразной в элементарных функциях не существует. Поэтому математики вводят специальное обозначение — дилогарифм:

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

   Это честный ответ, аналогично тому, как для $\int e^{-x^{2}}dx$ вводится функция ошибок.

4. 4

   Выпишем два классических значения. При $x=1$ ряд превращается в сумму Базеля:

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^{2}}{6}$

   а при $x=-1$ знак меняется и значение делится пополам:

   $\operatorname{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^{2}}{12}$

5. 5

   Проверим третье известное значение численно. При $x=\tfrac12$ существует классическая формула $\operatorname{Li}_{2}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi^{2}}{12}-\dfrac{\ln^{2}2}{2}$. Просуммировав 200 членов ряда, получаем $0.58224052646$, а подставив в формулу — $0.58224052647$ ✓, что подтверждает корректность ряда и обозначения.