Вычислить вложенный интеграл: интеграл по x от 0 до 1, внутренний интеграл по y от y = x до y = √(1 − x²) + 1, подынтегральная функция y.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним внутренний интеграл, считая $x$ константой. Подынтегральная функция — просто $y$, поэтому

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   Перед раскрытием скобок убедимся, что пределы корректны на $[0,1]$: верхний предел $\sqrt{1-x^{2}}+1$ не меньше $1$, а нижний предел $x$ не больше $1$, так что область интегрирования не вырождена.

2. 2

   Раскроем квадрат — именно здесь остаётся $\sqrt{\;}$ в выражении.

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   Перемножение даёт слагаемое $2\sqrt{1-x^{2}}$ — это единственная неквадратичная часть; остальное — элементарные выражения.

3. 3

   Упростим результат внутреннего интегрирования.

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   Таким образом, двойной интеграл свёлся к определённому интегралу $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$.

4. 4

   Разобьём и вычислим каждое слагаемое. Первые два считаются сразу:

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   Третье слагаемое: $y=\sqrt{1-x^{2}}$ на $[0,1]$ описывает четверть единичной окружности в первой четверти, значит, интеграл равен площади четверти круга $\pi/4$ — тригонометрическая подстановка не требуется.

5. 5

   Объединим и проверим результат.

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   В числовом виде $2/3+\pi/4=1.4520648301$, а численное интегрирование $1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ по $[0,1]$ также даёт $1.4520648301$ — совпадает до десятого знака.