Найдите первообразную функции f(x) = cos²x и её производную.

Step-by-step solution

1. 1

   Заменим квадрат косинуса формулой понижения степени. Интегрировать квадраты синуса или косинуса напрямую по стандартному правилу степени нельзя, но их можно преобразовать:

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   Это следует из преобразования $\cos 2x=2\cos^2x-1$, и такая подстановка — стандартный первый шаг при вычислении $\int\cos^2 x$ или $\int\sin^2 x$.

2. 2

   Разобьём получившийся интеграл на два слагаемых.

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

3. 3

   Вычислим каждый из интегралов отдельно. Во втором слагаемом появляется множитель $\tfrac1k$ из-за внутренней функции $2x$:

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   Таким образом,

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   Найдём производную $f$ с помощью производной сложной функции. Запишем $f(x)=(\cos x)^2$:

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   В последнем переходе используется формула двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

5. 5

   Проверим найденную первообразную обратным дифференцированием.

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   Численно при $x=0{,}9$: производная от первообразной равна $0{,}386399$, а $\cos^2(0{,}9)=0{,}386399$ $\checkmark$. Среднее значение $\tfrac{x}{2}$ также совпадает с известным средним для $\cos^2$ на периоде, а именно $\tfrac12$.