Решите дифференциальное уравнение dy/dx + 2y = e^(3x).

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся, что перед нами линейное уравнение первого порядка. Сравнивая с $y'+P(x)y=Q(x)$, читаем

   $P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{3x}$

   От варианта этой задачи с $e^{-x}$ отличается только $Q$, поэтому весь механизм остаётся прежним и меняется лишь последний интеграл.

2. 2

   Найдём интегрирующий множитель по одному только $P$. Поскольку $\mu$ зависит исключительно от $P$, правая часть $e^{3x}$ здесь ни на что не влияет:

   $\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$

3. 3

   Домножим уравнение так, чтобы слева получилась одна производная.

   $e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}e^{3x}=e^{5x}$

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=e^{5x}$

   Заметим, что показатели складываются: именно поэтому справа стоит $e^{5x}$, а не $e^{3x}$.

4. 4

   Проинтегрируем, пользуясь формулой $\int e^{kx}dx=e^{kx}/k$. Здесь $k=5$, и множитель $1/5$, который окажется в итоговом ответе, рождается именно на этом шаге:

   $e^{2x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C$

5. 5

   Разделим на $e^{2x}$ и упростим показатели.

   $y=\frac{1}{5}e^{5x-2x}+Ce^{-2x}=\frac{1}{5}e^{3x}+Ce^{-2x}$

6. 6

   Проверим прямой подстановкой. Из $y=\tfrac15 e^{3x}+Ce^{-2x}$ находим $y'=\tfrac35 e^{3x}-2Ce^{-2x}$, поэтому

   $y'+2y=\left(\tfrac35+\tfrac25\right)e^{3x}+(-2C+2C)e^{-2x}=e^{3x}$

   Проверку коэффициентов $\tfrac35+\tfrac25=1$ стоит проделать вручную: ошибочная $1/5$ обнаружилась бы сразу.