Вычислить интеграл от 0 до 1: ln(x) делить на (x^0,9 × (1−x)^0,1) по dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём подынтегральное выражение к виду функции Бета. Перепишем интеграл в виде

   $I = \int_0^1 x^{-0.9}(1-x)^{-0.1}\ln x\,dx$

   и сравним с

   $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

   Подбирая показатели, получаем: $a - 1 = -0.9$, значит, $a = 0.1$; $b - 1 = -0.1$, значит, $b = 0.9$. Оба показателя больше $-1$, поэтому интеграл сходится на концах, несмотря на особенности.

2. 2

   Логарифм появляется при дифференцировании по a. Дифференцирование под знаком интеграла по $a$ даёт множитель $\ln x$:

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ln x\,dx$

   Значит, $I = \left.\partial_a B(a,b)\right|_{a=0.1,\,b=0.9}$.

3. 3

   Выполним дифференцирование правильно — ловушка в третьем гамма-множителе. Из $B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ логарифмическое дифференцирование по $a$ при фиксированном $b$ даёт

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = B(a,b)\bigl[\psi(a) - \psi(a+b)\bigr]$

   Соблазнительно заметить, что при подстановке $a + b = 1$ и записать $B = \Gamma(a)\Gamma(b)$ до дифференцирования — но $a+b$ не является константой при изменении $a$, и преждевременное опускание $\Gamma(a+b)$ приводит к потере всего слагаемого $-\psi(a+b)$.

4. 4

   Вычислим значение Бета-функции с помощью формулы отражения. При $a = 0.1$, $b = 0.9$ имеем $a + b = 1$, значит $\Gamma(a+b) = \Gamma(1) = 1$, и

   $B(0.1, 0.9) = \Gamma(0.1)\Gamma(0.9) = \frac{\pi}{\sin(0.1\pi)} = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)} \approx 10.16640$

5. 5

   Соберём множитель с дигаммой. Из $\psi(1) = -\gamma$ (постоянная Эйлера–Маскерони, $\gamma \approx 0.5772157$) и $\psi(0.1) \approx -10.4237549$:

   $\psi(0.1) - \psi(1) = -10.4237549 + 0.5772157 = -9.8465392$

   Следовательно,

   $I = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)}\bigl(\psi(0.1) + \gamma\bigr)$

6. 6

   Посчитаем и проверим численно.

   $I \approx 10.1664075 \times (-9.8465392) \approx -100.10393$

   Независимое численное интегрирование — с заменой $x = u^{10}$ около $0$ и $x = 1 - v^{10}$ около $1$ для устранения особенностей, затем с помощью 300-узлового Гаусса–Лежандра — даёт $-100.10393$, что подтверждает аналитический результат. (Если бы опустить слагаемое $-\psi(a+b)$, получилось бы $-105.97$, то есть примерно на $6\%$ более отрицательно.) Отрицательный знак объясняется тем, что $\ln x < 0$ на всём отрезке интегрирования.