Найти общее решение a*y'' + b*y = 0, где a и b — константы, a ≠ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём уравнение к нормальному виду. Разделим обе части на $a$ (это допустимо, так как $a \ne 0$):

   $y'' + \frac{b}{a}y = 0$

   Дальнейшее решение зависит только от отношения $\tfrac{b}{a}$ — сами значения $a$ и $b$ больше не играют роли.

2. 2

   Составим характеристическое уравнение. Подставим $y = e^{rx}$ и сократим ненулевой множитель $e^{rx}$:

   $r^2 + \frac{b}{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{b}{a}$

   Линейного члена по $r$ нет, так как в исходном уравнении отсутствует $y'$ — это случай без затухания, поэтому корни либо чисто мнимые, либо оба действительные.

3. 3

   Случай b/a > 0: чисто мнимые корни. Тогда $r = \pm i\sqrt{b/a}$ и

   $y = C_1\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right) + C_2\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right)$

   Это гармонические колебания с круговой частотой $\omega = \sqrt{b/a}$ — уравнение колебаний массы на пружине $m\ddot y + ky = 0$ сводится именно к такому виду.

4. 4

   Случай b/a < 0: два действительных корня. Тогда $r = \pm\sqrt{-b/a}$ и

   $y = C_1e^{\sqrt{-b/a}\,x} + C_2e^{-\sqrt{-b/a}\,x}$

   Один из решений растёт, другой убывает; эквивалентно можно записать $y = A\cosh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right) + B\sinh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right)$.

5. 5

   Случай b = 0: двукратный корень в нуле. Тогда уравнение сводится к $y'' = 0$, общее решение которого — прямая:

   $y = C_1x + C_2$

   Это случай повторяющегося корня $r = 0$, где независимые решения — $e^{0x} = 1$ и $xe^{0x} = x$.

6. 6

   Проверим на примере. Пусть $a = 2$, $b = 8$, тогда $\tfrac{b}{a} = 4$ и $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$. Подставим $y = \cos 2x$: $y'' = -4\cos 2x$, значит $2(-4\cos 2x) + 8\cos 2x = 0$. Всё верно.