Вычислить двойной интеграл (x + y)/(x² + y²) по области, ограниченной петлёй кривой x³ + y³ = 3xy.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём граничную кривую в полярные координаты. Подставляя $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, уравнение $x^3+y^3=3xy$ принимает вид $r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$. Для $r\neq0$ отсюда

   $r_{\max}(\theta)=\frac{3\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$

   Это выражение обращается в ноль при $\theta=0$ и $\theta=\pi/2$ и положительно между ними, то есть $\theta\in[0,\pi/2]$ как раз описывает петлю — ограниченную часть фолия.

2. 2

   Преобразуем подынтегральное выражение и учтём сокращение Якобиана.

   $\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{r}$

   Так как $dA=r\,dr\,d\theta$, множитель $r$ в Якобиане сокращает $1/r$ в дроби: в полярных координатах подынтегральное выражение не зависит от $r$. Именно это делает интегрирование по такой сложной области возможным.

3. 3

   Выполним внутренний интеграл по $r$ за одну строку. Так как зависимости от $r$ не осталось,

   $I=\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,r_{\max}(\theta)\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\,d\theta$

4. 4

   Сократим по формуле суммы кубов. Заметим, что $\cos^3\theta+\sin^3\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)$ (средний множитель упрощается по формуле $\cos^2+\sin^2=1$), поэтому множитель $\cos\theta+\sin\theta$ сокращается:

   $I=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta$

   Заметим, что $1-\cos\theta\sin\theta\ge\tfrac12$, так что интеграл корректен — разрывов нет.

5. 5

   Сведём к стандартному интегралу Вейерштрасса. Подставим $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$ и обозначим $\varphi=2\theta$:

   $I=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{3\sin\varphi}{2-\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{3}{2}\left[-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{2-\sin\varphi}\right]$

   Замена $t=\tan(\varphi/2)$ сводит последний интеграл к $\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2-t+1}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$.

6. 6

   Соберём итоговую формулу и проверим численно.

   $I=\frac{3}{2}\left(-\pi+\frac{8\pi}{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{\sqrt3}-\frac{3\pi}{2}=\frac{4\sqrt3\,\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}$

   В числовом виде $7{,}255197-4{,}712389=2{,}5428085$, что совпадает с результатом по правилу Симпсона для $\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}d\theta$ до седьмого знака ✓.