Найти предел (eˣ−1)/x при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. Подставляя $x=0$, получаем $\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$ — неопределённость. Прямая подстановка невозможна, поэтому предел нужно обосновывать стандартными методами.

2. 2

   Способ 1 — узнаём производную. Разностное отношение для $f(x)=e^{x}$ в точке $0$ совпадает с данным выражением:

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   Так как $f^{\prime}(x)=e^{x}$, то $f^{\prime}(0)=e^{0}=1$, значит, предел равен $1$. Это фундаментальный подход: предел выражает тот факт, что у $e^x$ производная в нуле равна $1$.

3. 3

   Способ 2 — воспользуемся рядом Маклорена. Из $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$ следует:

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   Этот способ даёт не только сам предел, но и показывает, что частное стремится к $1$ линейно, как $1+\tfrac{x}{2}$.

4. 4

   Способ 3 — правило Лопиталя. Продифференцируем числитель и знаменатель по отдельности:

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   Следует помнить: если использовать этот способ для доказательства, возникает некоторая круговая логика, так как вычисление $\tfrac{d}{dx}e^x$ уже опирается на этот предел. Однако как вычисление он абсолютно корректен.

5. 5

   Численная проверка и согласие односторонних пределов. При $x=0.001$ частное равно $1.0005002$, при $x=-0.001$ — $0.9995002$. С обеих сторон значения стремятся к $1$, а отклонения составляют $\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$, что точно соответствует предсказанию по ряду $\checkmark$.