Вычислить интеграл от x³ + 6 по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем линейность интеграла, чтобы разбить выражение на два слагаемых.

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\int x^3\,dx+\int 6\,dx$

2. 2

   Запишем степенное правило интегрирования и применим его при $n=3$.

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$

   $\int x^3\,dx=\frac{x^{4}}{4}$

   Показатель степени увеличивается на единицу — часто ошибочно его уменьшают, что характерно для дифференцирования.

3. 3

   Интегрируем постоянное слагаемое.

   $\int 6\,dx=6x$

4. 4

   Записываем общий вид первообразной. Одна произвольная константа $C$ охватывает всё семейство:

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\frac{x^4}{4}+6x+C$

5. 5

   Проверяем результат дифференцированием. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^4}{4}+6x\right)=x^3+6$ $\checkmark$. Численно при $x=1{,}1$ разностное отношение даёт $7{,}331$, а $1{,}1^3+6=7{,}331$ $\checkmark$.