Вычислить предел (5x³−2x+1)/(3x³+7) при x стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости. При $x\to\infty$ числитель и знаменатель возрастают без ограничения, получая вид $\tfrac{\infty}{\infty}$. Это не значение, а лишь признак того, что выражение нужно преобразовать для вычисления предела.

2. 2

   Разделим числитель и знаменатель на старшую степень. И числитель, и знаменатель — многочлены третьей степени, поэтому каждое слагаемое делится на $x^3$ (что допустимо при больших $x$, где $x\neq 0$):

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   Устремим обратные степени к нулю. Для любого $k>0$ выполняется $\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$ при $x\to\infty$, поэтому три малых слагаемых исчезают:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   Сформулируем общий приём. Для дробно-рациональной функции сравниваются степени: при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов (здесь $\tfrac53$), если степень числителя меньше — предел $0$, если больше — $\pm\infty$. Младшие члены $-2x$, $+1$ и $+7$ на ответ не влияют.

5. 5

   Проверим численно. При $x=10^{6}$ значение дроби:

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   что совпадает с $\tfrac53=1.6\overline{6}$ с высокой точностью.