Найдите и упростите разностное отношение (f(x + h) − f(x))/h при h, не равном нулю, для f(x) = 2x² − 3x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Построим f(x + h), подставив всё выражение x + h. Заменяется каждый $x$ в формуле, вместе со скобками:

   $f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+4.$

2. 2

   Аккуратно раскроем скобки. Именно на квадрате чаще всего теряют среднее слагаемое: $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$, поэтому

   $f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+4.$

3. 3

   Вычтем f(x) и проследим за сокращениями. При $f(x)=2x^{2}-3x+4$ исчезает каждое слагаемое, не содержащее $h$:

   $f(x+h)-f(x)=\left(2x^{2}-2x^{2}\right)+4xh+2h^{2}+\left(-3x+3x\right)-3h+\left(4-4\right)=4xh+2h^{2}-3h.$

   Если здесь уцелело что-то без $h$, значит в алгебре ошибка — числитель обязан делиться на $h$.

4. 4

   Вынесем h за скобки в числителе.

   $4xh+2h^{2}-3h=h\left(4x+2h-3\right).$

5. 5

   Сократим h. Это законно именно потому, что по условию $h\neq 0$:

   $\frac{h\left(4x+2h-3\right)}{h}=4x+2h-3.$

6. 6

   Истолкуем результат. При $h\to 0$ получаем $4x-3$ — это в точности $f'(x)$: разностное отношение и есть производная до перехода к пределу. Отсюда быстрый способ проверки: продифференцируйте $2x^2-3x+4$ почленно и убедитесь, что получилось $4x-3$.