Исследовать сходимость двойного интеграла sin(x)sin(y)/(x+y)^p по области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним замену переменных, чтобы знаменатель зависел только от одной переменной. В знаменателе подынтегральной функции присутствует только $x+y$, поэтому удобно ввести $u=x+y$, $v=x$. Тогда $y=u-v$, а якобиан равен $1$. Ограничения $x\ge0$, $y\ge0$ переходят в $0\le v\le u$, а $x+y\ge1$ — в $u\ge1$. Получаем: $I(p)=\int_1^\infty \frac{1}{u^p}\left(\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv\right)du.$

2. 2

   Упростим внутренний интеграл с помощью формулы произведения синусов. Применяя тождество $\sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ при $A=v$, $B=u-v$, получаем: $\sin v\sin(u-v)=\tfrac12[\cos(2v-u)-\cos u]$. Интегрируя по $v\in[0,u]$, первый слагаемый даёт $\sin u$, второй — $u\cos u$, поэтому $\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv=\frac{\sin u-u\cos u}{2}.$

3. 3

   Разделим результат на два осциллирующих хвоста. Подставляя обратно, получаем $I(p)=\frac12\int_1^\infty\frac{\sin u}{u^p}\,du-\frac12\int_1^\infty\frac{\cos u}{u^{p-1}}\,du.$ Теперь вопрос о сходимости двойного интеграла сводится к сходимости двух одномерных несобственных интегралов стандартного вида.

4. 4

   Применим признак Дирихле к каждому слагаемому. Частичные интегралы $\int_1^X\sin u\,du$ и $\int_1^X\cos u\,du$ ограничены, поэтому $\int_1^\infty \sin u/u^p\,du$ сходится, когда $u^{-p}$ убывает к нулю, то есть при $p>0$, а $\int_1^\infty \cos u/u^{p-1}\,du$ — когда $p-1>0$. Второе условие является определяющим. При $p=1$ второй интеграл превращается в $\int_1^\infty\cos u\,du$, который не сходится из-за постоянных колебаний, а при $p<1$ амплитуда $u^{1-p}$ даже возрастает, поэтому сходимость имеет место только при $p>1$.

5. 5

   Проверим абсолютную сходимость отдельно. Переходя к модулю, теряется взаимное уничтожение: $A(u)=\int_0^u|\sin v\,\sin(u-v)|\,dv$ растёт линейно, $cu\le A(u)\le Cu$ при больших $u$, так как $|\sin v\sin(u-v)|$ имеет положительное среднее за период. Значит, $\iint_D|\cdot|\asymp\int_1^\infty u^{1-p}\,du$, который сходится тогда и только тогда, когда $1-p<-1$, то есть $p>2$.

6. 6

   Соберём тройственную классификацию. Абсолютная сходимость достигается при $p>2$, обычная сходимость — при $p>1$, а при $1<p\le 2$ интеграл сходится только условно. Для $p\le 1$ интеграл расходится.