Вычислить предел при n → ∞ выражения (2^n + (−7)^n) / (2^{n+1} + (−7)^{n+1}).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим доминирующий член, сравнив модули оснований. Основания имеют модули $|2|=2$ и $|-7|=7$. Так как $7>2$, с ростом $n$ слагаемые $(-7)^n$ значительно превосходят $2^n$ по величине — чередование знака не влияет на доминирование.

2. 2

   Вынесем множители из степеней в знаменателе, чтобы степени совпали с числителем. Представим знаменатель так:

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   Разделим числитель и знаменатель на доминирующий член. Пусть $r=\dfrac{2}{-7}$, тогда $\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$:

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   Устремим малое отношение к нулю. Так как $|r|=\tfrac27<1$, при $n\to\infty$ $r^{n}\to 0$ — несмотря на смену знака, это геометрическая прогрессия с модулем меньше единицы, поэтому предел равен нулю.

5. 5

   Выпишем предел.

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   Проверим результат на конкретных значениях. При вычислении исходного выражения для $n=10$ получается $-0.14285781$, для $n=11$ — $-0.14285695$, а для $n=50$, $51$, $200$ и $201$ — $-0.142857142857$. Значения сходятся к $-\tfrac17=-0.142857\ldots$ с обеих сторон по мере роста $n$ и смены чётности.