Найдите производную y = 3 sin(4x³ + 5) · √(5(4x + 5/x)).

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим сомножители, чтобы применить правило произведения. Данная функция — это произведение, а не простая композиция, поэтому начнём с формулы $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ при $u=3\sin(4x^3+5),\qquad v=\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}.$ Каждый сомножитель — сложная функция, поэтому для обеих производных потребуется применять цепное правило.

2. 2

   Найдём производную синусного сомножителя по цепному правилу. Внутренняя функция $f(x)=4x^3+5$ имеет производную $f^{\prime}(x)=12x^2$, поэтому $u^{\prime}=3\cos(4x^3+5)\cdot 12x^2=36x^2\cos(4x^3+5).$

3. 3

   Найдём производную радикального сомножителя. Обозначим $v=g(x)^{1/2}$, где $g(x)=5\left(4x+\frac5x\right)=20x+\frac{25}{x}$. Тогда $g^{\prime}(x)=20-\frac{25}{x^2}$, а по формуле $\left(g^{1/2}\right)^{\prime}=\frac{g^{\prime}}{2\sqrt{g}}$ получаем $v^{\prime}=\frac{20-\frac{25}{x^2}}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

4. 4

   Соберём ответ по правилу произведения. Подставляя найденные части в $y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$, получаем $y^{\prime}=36x^2\cos(4x^3+5)\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}+\frac{3\sin(4x^3+5)\left(20-\frac{25}{x^2}\right)}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

5. 5

   Уточним область определения производной. Слагаемое $5/x$ требует $x\ne 0$, а подкоренное выражение $5\left(4x+\frac5x\right)\ge 0$, что выполняется при всех $x>0$, но не для всех отрицательных $x$. Там, где радиканд равен нулю, корень оказывается в знаменателе, поэтому производная также не определена.