Вычислить интеграл x² · sin(x) от x = 0 до x = 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём первообразную методом интегрирования по частям дважды. Пусть $u=x^{2}$, $dv=\sin x\,dx$. Тогда $-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$; второй раз по частям: $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, получаем $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$. В итоге:

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   Первообразная не зависит от пределов интегрирования, поэтому её удобно получить один раз и использовать далее.

2. 2

   Обратим внимание на особенности пределов $0$ и $2$. Здесь $2$ — обычное число в радианах, не кратное $\pi$, поэтому $\sin 2$ и $\cos 2$ не обращаются в $0$ или $\pm1$. В ответе обязательно останутся оба этих выражения, и преждевременное округление — главная ошибка.

3. 3

   Подставим верхний предел $x=2$.

   $-4\cos 2+4\sin 2+2\cos 2=4\sin 2-2\cos 2$

   Два слагаемых с косинусом частично сокращаются: $-4\cos 2+2\cos 2=-2\cos 2$.

4. 4

   Подставим нижний предел $x=0$.

   $-0\cdot\cos 0+0\cdot\sin 0+2\cos 0=2$

5. 5

   Вычтем значения и получим точный ответ.

   $\int_{0}^{2}x^{2}\sin x\,dx=4\sin 2-2\cos 2-2$

6. 6

   Переведём в десятичную дробь и проверим знак. При $\sin 2=0.909297$, $\cos 2=-0.416147$:

   $4(0.909297)-2(-0.416147)-2=3.637190+0.832294-2=2.469483$

   По правилу Симпсона: $2.4694834$ ✓. Знак положительный, так как $\sin x>0$ на всём $[0,2]$ (ведь $2<\pi$).