Вычислить двойной интеграл от x·cos(x + y) по треугольной области с вершинами (0, 0), (π, 0) и (π, π).

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим три вершины в уравнения границ. Сторона от $(0,0)$ до $(\pi,0)$ лежит на прямой $y=0$; сторона от $(\pi,0)$ до $(\pi,\pi)$ — вертикальная прямая $x=\pi$; сторона от $(0,0)$ до $(\pi,\pi)$ — прямая $y=x$. Значит, треугольник есть множество точек, для которых $0\le x\le\pi$ и $0\le y\le x$.

2. 2

   Выбираем порядок $dy\,dx$. При интегрировании сначала по $y$ пределы по $x$ остаются постоянными (от $0$ до $\pi$), а пределами по $y$ становятся две простые функции $0$ и $x$. Помогает и то, что во внутреннем интегрировании $x$ — постоянная, поэтому множитель $x$ выносится за знак интеграла:

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   Берём внутренний интеграл. При фиксированном $x$ имеем $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$, поэтому

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   Считаем $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$ по частям. Возьмём $u=x$, $dv=\sin 2x\,dx$, тогда $du=dx$ и $v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$:

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

5. 5

   Так же считаем $\int_0^\pi x\sin x\,dx$. При $u=x$, $v=-\cos x$:

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

6. 6

   Соединяем оба куска. Внешний интеграл равен разности полученных значений:

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   Ответ отрицателен, и это ожидаемо: на большей части треугольника сумма $x+y$ лежит между $\tfrac{\pi}{2}$ и $\tfrac{3\pi}{2}$, где $\cos(x+y)$ отрицателен, а вес $x$ как раз там наибольший. Численное интегрирование даёт $-4.71239$, что совпадает с $-\tfrac{3\pi}{2}$.