Продифференцируйте y = x в квадрате.

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем правило степени точно. Для любого постоянного показателя $n$

   $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$

   Происходит сразу две вещи: прежний показатель спускается вперёд как множитель, а сам показатель уменьшается на единицу.

2. 2

   Определим показатель. В $y=x^2$ имеем $n=2$. Коэффициента переносить не нужно, цепное правило не требуется, так как основание — просто $x$.

3. 3

   Применим правило.

   $\frac{dy}{dx}=2x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   Подтвердим по определению, чтобы правило не выглядело просто рецептом. Разностное отношение равно

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   и при $h\to 0$ получается $2x$ — тот же ответ, полученный без предположения о правиле степени.

5. 5

   Прочитаем смысл по графику. Производная $2x$ — это угловой коэффициент параболы: при $x=3$ касательная имеет наклон $6$, при $x=0$ она горизонтальна (вершина), а при $x<0$ наклон отрицателен. Значит, крутизна растёт линейно по мере удаления от начала координат.