Найти предел (tan x / x)^{1/x} при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости. При $x\to0$ выполняется $\tan x\sim x$, поэтому основание $\tfrac{\tan x}{x}\to1$, а показатель $\tfrac1x\to\pm\infty$. Получается неопределённость $1^{\infty}$ — действительно неопределённая форма, так как число, чуть больше $1$, в большой степени может стремиться куда угодно.

2. 2

   Прологарифмируем, чтобы опустить показатель. Обозначим предел через $L$:

   $\ln L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)$

   Теперь задача сводится к сравнению: насколько быстро основание стремится к $1$ по сравнению с тем, как быстро показатель стремится к бесконечности.

3. 3

   Разложим основание в ряд до нужного порядка. Из разложения $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ получаем:

   $\frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$

   Ключевым является член $x^2$: основание приближается к $1$ квадратично, быстрее, чем показатель степени «взрывается» как $1/x$.

4. 4

   Используем приближение $\ln(1+u)\approx u$. При $u=\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)$ имеем:

   $\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x^2}{3}+O(x^4)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x}{3}+O(x^3)$

5. 5

   Переходим к пределу и возвращаемся от логарифма. Так как $\tfrac{x}{3}\to0$ с обеих сторон, получаем $\ln L=0$, а значит

   $L=e^{0}=1$

6. 6

   Проверим численно с обеих сторон. При $x=0.001$ выражение равно $1.000333$, при $x=-0.001$ — $0.999667$. Оба значения стремятся к $1$ при $x\to0$, а совпадение с двух сторон подтверждает существование предела ✓.