Продифференцируйте y = 8x⁶ − 3x в степени минус 4, плюс 4 делить на x, минус 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем каждое слагаемое как степень $x$. Правило степени работает только с формой $cx^n$, поэтому преобразуем дробь:

   $\frac4x=4x^{-1}$

   Выражение принимает вид $y=8x^6-3x^{-4}+4x^{-1}-9$. Константа $-9$ — это $-9x^0$, и её производная будет нулевой.

2. 2

   Продифференцируем положительную степень. По формуле $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

   $\frac{d}{dx}\left(8x^6\right)=8\cdot 6x^5=48x^5$

3. 3

   Продифференцируем слагаемое $-3x^{-4}$ — здесь встречаются два минуса.

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-5}=+12x^{-5}$

   Показатель всё равно уменьшается: $-4-1=-5$, а не $-3$. А поскольку коэффициент $-3$ умножается на отрицательный показатель $-4$, итоговое слагаемое получается положительным.

4. 4

   Продифференцируем $4x^{-1}$ и константу.

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=4\cdot(-1)x^{-2}=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

5. 5

   Соединим и запишем с положительными показателями.

   $\frac{dy}{dx}=48x^5+12x^{-5}-4x^{-2}=48x^5+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   Сделаем выборочную численную проверку при $x=1$. Формула даёт $48+12-4=56$. Центральная разность для исходной функции при $h=10^{-4}$ тоже даёт $56.00$, что подтверждает и коэффициенты, и знаки. Заметьте: производная не определена при $x=0$, ровно как и сама функция.